RDF or PDF or PCF?

ガラスや液体の研究をしていると、位置 \(r\) での局所的な密度ゆらぎを示す ために次の関数 \(g(r)\) をよく評価します。

\[ g(r) = \frac{\rho(r)}{\rho_0} \]

ここで、\(\rho(r)\) は \(r\) での密度、\(\rho_0\) は系全体の密度です。この\(g(r)\) は分野によって名称が異なり、使用した場 面によっては間違いとして指摘されることもあります。\(g(r)\) の名称と して、次の3つが利用されます。

• 動径分布関数 (Radial Distribution Function; RDF)
• 2体分布関数 (Pair Distribution Function; PDF)
• 2体相関関数 (Pair Correlation Function; PCF)

シミュレーション研究の多い大窪は、論文等で \(g(r)\) をRDFと呼んでいます。 また、学生にもRDFとして教えているのですが、某材料系の学会で「それは間 違いだ」と指摘されました。また、以前に投稿した論文で査読者1名からRDFは 間違いなので修正するようにコメントをもらったこともあります。定義を書い ていれば、どちらでも良いと思うのですが釈然としないながらも査読者の指 示にしたがってRDFをPCFに修正して再投稿・受理された記憶があります。

感覚として、回折実験系の人は \(g(r)\) をPDFまたはPCFと呼び、シミュレーショ ン系の人はRDFと呼ぶ傾向が強いような気がします。回折実験分野でRDFやPCF の名称を使いたい理由は、\(4\pi r^2 \rho_0 g(r)\) をRDFとして定義したい事情があ るのかもしれません。大窪は回折データから \(g(r)\) を求める実験と解析コー ドの作成を行ったことがあるので、回折実験分野の事情もわかるのですが、 頭ごなしにRDFをPDFやPCFに修正させるのはどうも違和感を感じたので、調べ てみました。

RDFのWikipediaによると、"the radial distribution function, (or pair correlation function)"となってinterchangeablyな感じですが、TalkのMerge proposalのAgreeで、回折分野でのRDFとPCFの違いを指摘している人がいます。一方、 Disagreeでは、統計力学の本の多くで、PCFを\(g(r)-1\) と定義しているで、 bloody confusing (血なまぐさい混乱?)になっているようです。

英語と日本語で聞いてみたところ、EnglishではRDFとPDFは同じ関数、PCFは距 離に限定しない相関という感じの答えでした。日本語では、PDFとPCFの式がそ もそも \(g(r)\) になっていませんでした。

スクリプトは以下のとおりです。

回折実験の書籍は、PDFを使うことが多い。統計や計算の書籍では、RDFを使う ことが多い。 複数の著者による総説的な書籍では、表記が統一されていなかっ たり、Radial Density Functionという新しい名称まで使われています。

Google scholarを利用して、RDF, PDF, PCFのヒット数を調べてみました。シ ミュレーションと回折実験で分けるために、RDF, PDF, PCFとMDまたはX-rayの どちらかのみを含むよう検索してヒット数をカウントしました。なお、ヒット 数の収集は、Pythonで自動化しています。

ヒット数を表にしてリンクを貼り付けています。シミュレーション分野(MDだ けですが)ではRDFがよく使われるようです。MDの結果の整理で使われている RDFをすべて誤りとしてPDFやPCFに修正させるのは無理があるようです。

回折実験分野では \(g(r)\) をPDFと呼び、シミュレーション分野では \(g(r)\) を PDFまたはPCFと呼びことが多いようです。回折実験分野の研究者が多い学会や 論文では、RDFを使わずにPDFまたはPCFを使うと良いでしょう。一方、シミュ レーション分野では、PDFでも良いかもしれません。

一方、大窪のように回折実験もシミュレーションも行う側からみると、どちら を利用して良いのか悩ましいところです。大窪はシミュレーション＋回折実験 の研究でRDFを使うのですが、その理由は以下のとおりです。

• 固体物理の標準教科書であったキッテル第7版はPDFとしている。
• 回折実験だと「Pair」は距離を意味するが、シミュレーションだと速度だっ たり力だったりいろいろな「Pair」をとれるので、PDFやPCFはやや違和感が ある。
• シミュレーション分野でRDFを使う人が多い(今回の調査で判明)。

伝える側と伝えられる側で意味が一致すれば良いと思いますが、 \(g(\infty)=1\) になるはずなので、どの名称を使っても\(g(r)\) か図を一目見 れば理解できると思います。よって、特定の名称に固執する必要はないという のが結論です。

\(g(r)\) の名称について「正しい/間違っている」と指摘することは、現在の混 乱状況を加速させることになります。不毛な名称の争いは止めた方が良さそう です。

本記事は、回折実験の研究者である島根大学の尾原先生に査読いただきました (予定)。感謝申し上げます。ご意見がありましたら、大窪までご連絡ください。